Теорема Пуанкаре — Бендиксона

Теорема Пуанкаре — Бендиксона — теорема в теории динамических систем, описывающая возможные типы предельного поведения траектории векторного поля на плоскости или на сфере. Теорема утверждает, что предельное поведение траекторий в этом случае регулярно, и не может быть хаотическим (невозможно даже наличие всюду плотных орбит).

Формулировка теоремы

Пусть задано $C^{1}$-гладкое векторное поле на сфере или на плоскости или в некоторой ограниченной области плоскости (в последнем случае, направленное внутрь на границе области), имеющее лишь конечное число особых точек. Тогда ω-предельное множество любой траектории — это либо (1) особая точка, либо (2) периодическая траектория, либо (3) полицикл (объединение особых точек и соединяющих их отрезков траекторий). Аналогичное утверждение имеет место и для α-предельных множеств.

• 
  Пример случая 1.
• 
  Пример случая 2.
• 
  Пример случая 3.

См. также

• Поток Черри
• Мешок Бендиксона
• Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий

Литература

• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 455. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.
• Ю.С. Ильяшенко. Эволюционные процессы и философия общности положения, М.: МЦНМО, 2007.